若果你還看上一段今日一講，煩請移玉步: http://hkgalden.com/view/80603

膠登12月之星又有選舉，而膠登第1屆硬筆比賽亦開始了選舉最佳書法；所以今日我要講一講數學另一常用地方，公平投票。有投票就有計算方法，但方法之多一本千多頁的書都未必可能全部講通講明白。今次就略略講當中最重要的其中一個分法。

少數服從多數，從來都唔係數學上話的公平，更談不上甚麼民主。若果只有1個選擇而最終得1位當選，從來都不能夠反映眾人的意義。所以，數學上是有定義如何作出一個公平投票的計法。首先，都要一個作為基準，數學上會定義了這個就是隨機贏家，完全唔看選票多少。我們叫這種為 random winner; 另外一種就隨機抽票，random ballot, 係選票中隨一張選票，那張選邊個就邊個贏。

當然，一般都會有一些性質我們會去決定。而首要就是公平，所以一般都有以下四個原則：
多數決原則：如果有一個被多數 ( 超過50% ) 人所支持的候選人存在，他一定能獲勝
單調決原則：如果最高支持候選人不存在，第二多支持者一定能獲勝
獨立不偏原則：如果其他落敗人不存在，依舊由那個當選人當選。
雙序決原則：如果有一個候選人在每場單對單比拼時都獲勝，他一定能獲勝

很不幸的是如此公平選舉，Arrow在1952年證實不存在；這條就是著名的 Arrow Impossibility Theorem。當中引申的collorary 是 1972年 Gibbard-Satterthwaite theorem 證明了無一個選舉投票人係超過3個人的選舉中會完全誠實及無策略去投票。

所以，未必有一個真正公平投票，只不過是自己一廂情願。