Let {X_n} seq.

點樣可以general地構造uncountable咁多個subseq?

我剩係諗到一個方法:
let P be set of prime
say S = Power set of P, then S is uncountable
for {p_1,...,p_k} belongs to S
maps to seqs: {X_n} for n=p_i^j, 1<=i<=k, j is integer.
then the maps gives uncountable subseq.

仲有冇其他方法

當然，以很多人認知，`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`. 但是否就那麼簡單呢? 非也.... 望一望 `RR` 看似很完備，但一遇到有些情況要`oo` 或 `-oo` 時, 就明顯這不在任何一個set。 若要做renormalisation, 一掂到`oo`, 根本無associated measure 或 density, 偏偏現實很多時都會遇到，例如 quantum mechanics 或者 Bayesian statistics。

下? 數學唔係好興 \mathbb{R} \union \{-\infty, \infty\} 架咩

好多人都搞錯,`RR` 係有無限咁多個elements, 但就無包括 `oo` 這個elements.

等同 雖則你知道`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`, 但其實按cardinality, 即個set 的有幾多elements呢?
$$ \aleph_0 = \#\mathbb N = \#\mathbb Z = \#\mathbb Q < \#\mathbb R = \#\mathbb C = 2^{\aleph_0} = \aleph_1 $$

而這兩個觀念，真係會令人頭痛。

Let {X_n} seq.
點樣可以general地構造uncountable咁多個subseq?

當然，以很多人認知，`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`. 但是否就那麼簡單呢? 非也.... 望一望 `RR` 看似很完備，但一遇到有些情況要`oo` 或 `-oo` 時, 就明顯這不在任何一個set。 若要做renormalisation, 一掂到`oo`, 根本無associated measure 或 density, 偏偏現實很多時都會遇到，例如 quantum mechanics 或者 Bayesian statistics。

下? 數學唔係好興 \mathbb{R} \union \{-\infty, \infty\} 架咩

好多人都搞錯,`RR` 係有無限咁多個elements, 但就無包括 `oo` 這個elements.

等同 雖則你知道`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`, 但其實按cardinality, 即個set 的有幾多elements呢?
$$ \aleph_0 = \#\mathbb N = \#\mathbb Z = \#\mathbb Q < \#\mathbb R = \#\mathbb C = 2^{\aleph_0} = \aleph_1 $$

而這兩個觀念，真係會令人頭痛。

下? 我唔係講緊 $\mathbb{R}$ 入面有 $\{-\infty, \infty\}$
我係講緊本身數學好興加埋 $\{-\infty, \infty\}$ 入去討論

當然，以很多人認知，`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`. 但是否就那麼簡單呢? 非也.... 望一望 `RR` 看似很完備，但一遇到有些情況要`oo` 或 `-oo` 時, 就明顯這不在任何一個set。 若要做renormalisation, 一掂到`oo`, 根本無associated measure 或 density, 偏偏現實很多時都會遇到，例如 quantum mechanics 或者 Bayesian statistics。

下? 數學唔係好興 \mathbb{R} \union \{-\infty, \infty\} 架咩

好多人都搞錯,`RR` 係有無限咁多個elements, 但就無包括 `oo` 這個elements.

等同 雖則你知道`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`, 但其實按cardinality, 即個set 的有幾多elements呢?
$$ \aleph_0 = \#\mathbb N = \#\mathbb Z = \#\mathbb Q < \#\mathbb R = \#\mathbb C = 2^{\aleph_0} = \aleph_1 $$

而這兩個觀念，真係會令人頭痛。

下? 我唔係講緊 $\mathbb{R}$ 入面有 $\{-\infty, \infty\}$
我係講緊本身數學好興加埋 $\{-\infty, \infty\}$ 入去討論

其實, 我知你想講 $\bar {\mathbb R}$, two-point compactification of `RR`. 但這個只是為方便, 例 我話一個sequence diverge, 但又可以話一個sequence converges in `bar RR`，根本無實際意義。

Let {X_n} seq.
點樣可以general地構造uncountable咁多個subseq?

Let P be power set of \mathbb{N}
Set of all subsequence of X_n = \{\{X_i\}_{i\inP}\}

當然，以很多人認知，`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`. 但是否就那麼簡單呢? 非也.... 望一望 `RR` 看似很完備，但一遇到有些情況要`oo` 或 `-oo` 時, 就明顯這不在任何一個set。 若要做renormalisation, 一掂到`oo`, 根本無associated measure 或 density, 偏偏現實很多時都會遇到，例如 quantum mechanics 或者 Bayesian statistics。

下? 數學唔係好興 \mathbb{R} \union \{-\infty, \infty\} 架咩

好多人都搞錯,`RR` 係有無限咁多個elements, 但就無包括 `oo` 這個elements.

等同 雖則你知道`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`, 但其實按cardinality, 即個set 的有幾多elements呢?
$$ \aleph_0 = \#\mathbb N = \#\mathbb Z = \#\mathbb Q < \#\mathbb R = \#\mathbb C = 2^{\aleph_0} = \aleph_1 $$

而這兩個觀念，真係會令人頭痛。

下? 我唔係講緊 $\mathbb{R}$ 入面有 $\{-\infty, \infty\}$
我係講緊本身數學好興加埋 $\{-\infty, \infty\}$ 入去討論

其實, 我知你想講 $\bar \mathbb R$, two-point compactification of `RR`. 但這個只是為方便, 例 我話一個sequence diverge, 但又可以話一個sequence converges in `bar RR`，根本無實際意義。另外，如measure theory, Beppo Levi theorem 就是要用 `bar RR`, 免得要分多幾個cases。 其實, 你可以話係懶, 多過有特別意義。

其實, 我知你想講 $\bar \mathbb R$, two-point compactification of `RR`. 但這個只是為方便, 例 我話一個sequence diverge, 但又可以話一個sequence converges in `bar RR`，根本無實際意義。另外，如measure theory, Beppo Levi theorem 就是要用 `bar RR`, 免得要分多幾個cases。 其實, 你可以話係懶, 多過有特別意義。

好多 function 會 d 左個 infinity 出黎
例如 sqrt(x) at x = 0 既 derivative 係 infinity
所以D人研究 Lp spaces 避唔開要放埋 infinity 落去

Let {X_n} seq.

點樣可以general地構造uncountable咁多個subseq?

我剩係諗到一個方法:
let P be set of prime
say S = Power set of P, then S is uncountable
[#FF0000]for {p_1,...,p_k} belongs to S
maps to seqs: {X_n} for n=p_i^j, 1<=i<=k, j is integer.[/#FF0000]
then the maps gives uncountable subseq.

仲有冇其他方法

當你一話個index set 係 `NN`時, 已經做緊一個 countable subsequence, 因為countable 或 uncountable 與否是看index set.