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膠登數學討論區
為振興HKGalden, 我亦仿考各位師兄建立一個數學討論區。
因應方便, 本帖為大量使用數學公式，暫時請儘快安裝 extension https://hkgalden.com/view/4350。
至於如何打出美麗公式, 可參考 https://hkgalden.com/view/4435，連化學公式都打得出，不過這是後話。
好, 今次出帖講一下的話題就是大學都認識的數字, 有云:
$$\text{God made the natural numbers; all else is the work of man.}$$
當然，以很多人認知，`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`. 但是否就那麼簡單呢? 非也.... 望一望 `RR` 看似很完備，但一遇到有些情況要`oo` 或 `-oo` 時, 就明顯這不在任何一個set。 若要做renormalisation, 一掂到`oo`, 根本無associated measure 或 density, 偏偏現實很多時都會遇到，例如 quantum mechanics 或者 Bayesian statistics。
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至於如何打出美麗公式, 可參考 https://hkgalden.com/view/4435，連化學公式都打得出，不過這是後話。
好, 今次出帖講一下的話題就是大學都認識的數字, 有云:
$$\text{God made the natural numbers; all else is the work of man.}$$
當然，以很多人認知，`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`. 但是否就那麼簡單呢? 非也.... 望一望 `RR` 看似很完備，但一遇到有些情況要`oo` 或 `-oo` 時, 就明顯這不在任何一個set。 若要做renormalisation, 一掂到`oo`, 根本無associated measure 或 density, 偏偏現實很多時都會遇到，例如 quantum mechanics 或者 Bayesian statistics。
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當然，以很多人認知，`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`. 但是否就那麼簡單呢? 非也.... 望一望 `RR` 看似很完備，但一遇到有些情況要`oo` 或 `-oo` 時, 就明顯這不在任何一個set。 若要做renormalisation, 一掂到`oo`, 根本無associated measure 或 density, 偏偏現實很多時都會遇到，例如 quantum mechanics 或者 Bayesian statistics。
下? 數學唔係好興 \mathbb{R} \union \{-\infty, \infty\} 架咩
好多人都搞錯,`RR` 係有無限咁多個elements, 但就無包括 `oo` 這個elements.
等同 雖則你知道`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`, 但其實按cardinality, 即個set 的有幾多elements呢?
$$ \aleph_0 = \#\mathbb N = \#\mathbb Z = \#\mathbb Q < \#\mathbb R = \#\mathbb C = 2^{\aleph_0} = \aleph_1 $$
而這兩個觀念，真係會令人頭痛。
當然，以很多人認知，`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`. 但是否就那麼簡單呢? 非也.... 望一望 `RR` 看似很完備，但一遇到有些情況要`oo` 或 `-oo` 時, 就明顯這不在任何一個set。 若要做renormalisation, 一掂到`oo`, 根本無associated measure 或 density, 偏偏現實很多時都會遇到，例如 quantum mechanics 或者 Bayesian statistics。
下? 數學唔係好興 \mathbb{R} \union \{-\infty, \infty\} 架咩
好多人都搞錯,`RR` 係有無限咁多個elements, 但就無包括 `oo` 這個elements.
等同 雖則你知道`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`, 但其實按cardinality, 即個set 的有幾多elements呢?
$$ \aleph_0 = \#\mathbb N = \#\mathbb Z = \#\mathbb Q < \#\mathbb R = \#\mathbb C = 2^{\aleph_0} = \aleph_1 $$
而這兩個觀念，真係會令人頭痛。
推番上去，包含 同 基數 係兩回事。
例如 大家都 $\mathbb N$ 包齊全部 natural numbers, 但若果我設一個 set $A= \{ 2x \mid x \in \mathbb N\} = \{2, 4, 6, 8, \cdots\}$, 很明顯地這個 $A$ 係比 $\mathbb N $ 包含, 因為 $A$ 只是一個有齊雙數的set。 但用基數去看呢? 竟然是一樣那麼多elements。所以，出現了一個與人一般理解相反的現象，
$$ A \subset \mathbb N \qquad \text{but} \qquad \#A = \#\mathbb N $$
完全唔知你地UP咩
完全唔知你地UP咩
解緊數字背後的特性...
Let {X_n} seq.
點樣可以general地構造uncountable咁多個subseq?
我剩係諗到一個方法:
let P be set of prime
say S = Power set of P, then S is uncountable
for {p_1,...,p_k} belongs to S
maps to seqs: {X_n} for n=p_i^j, 1<=i<=k, j is integer.
then the maps gives uncountable subseq.
仲有冇其他方法
點樣可以general地構造uncountable咁多個subseq?
我剩係諗到一個方法:
let P be set of prime
say S = Power set of P, then S is uncountable
for {p_1,...,p_k} belongs to S
maps to seqs: {X_n} for n=p_i^j, 1<=i<=k, j is integer.
then the maps gives uncountable subseq.
仲有冇其他方法
好奇想知讀數嘅人會唔會讀離散數？
好奇想知讀數嘅人會唔會讀離散數？
通常都唔係必修科。
Let {X_n} seq.
點樣可以general地構造uncountable咁多個subseq?
我剩係諗到一個方法:
let P be set of prime
say S = Power set of P, then S is uncountable
[#FF0000]for {p_1,...,p_k} belongs to S
maps to seqs: {X_n} for n=p_i^j, 1<=i<=k, j is integer.[/#FF0000]
then the maps gives uncountable subseq.
仲有冇其他方法
當你一話個index set 係 `NN`時, 已經做緊一個 countable subsequence, 因為countable 或 uncountable 與否是看index set.
好奇想知讀數嘅人會唔會讀離散數？
discrete maths 係一個集大成的大科.... 可以有graph theory, combinatorics, counting, set theory, tree, network, generating function 等等
正方形公式
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