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btw 容許我推薦兩本數學書





當年睇完攪到我心思思想讀數

當然，以很多人認知，`NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`. 但是否就那麼簡單呢? 非也.... 望一望 `RR` 看似很完備，但一遇到有些情況要`oo` 或 `-oo` 時, 就明顯這不在任何一個set。 若要做renormalisation, 一掂到`oo`, 根本無associated measure 或 density, 偏偏現實很多時都會遇到，例如 quantum mechanics 或者 Bayesian statistics。

下? 數學唔係好興 \mathbb{R} \union \{-\infty, \infty\} 架咩

因為Numbers 係 set 的關係，當然可以出現 一些一般人未必會理會的set (但又事實可能用緊 ), 例如 : `NN ^( NN )` 或者 [0, 1]^( NN )` 或者 `RR^( NN )`, 這些都是infinite dimensional 而且又是 (continuous ) stochastic processes 的必要用品, 變相一定會掂到 `oo`.

大家當然會話加埋`oo`以及`-oo`就能解決嗎？ 不要忘記第2次數學危機，正正就是出現在於 `oo` 背後延申的問題。一個平滑而且可以無限微分的bounded function, 當然可以用Fourier Series 去模仿；但若果是 unbounded, 並唔一定可以。亦是從19世紀開始，由Analysis 取代intuition, 數學講求絕對嚴緊，特別是 Weierstrass，找出一堆counterexamples 去修正當時的theorems。 我們現在中學所讀的數學，亦停留在18-19世紀，所以所學的數學東西在Year 1/2 數學系就會全面推倒重來，這個就是歷史因素。

Cantor 建立起 set theory, 其中所有`NN` 去到 `RR` 都要用邏輯一步步建立，有興趣的可以參考 Foundations of Analysis by Landau 或者類似的書... 但從Analysis 來建立的

因為Numbers 係 set 的關係，當然可以出現 一些一般人未必會理會的set (但又事實可能用緊 ), 例如 : `NN ^( NN )` 或者 `[0, 1]^( NN )` 或者 `RR^( NN )`, 這些都是infinite dimensional 而且又是 (continuous ) stochastic processes 的必要用品, 變相一定會掂到 `oo`.

大家當然會話加埋`oo`以及`-oo`就能解決嗎？ 不要忘記第2次數學危機，正正就是出現在於 `oo` 背後延申的問題。一個平滑而且可以無限微分的bounded function, 當然可以用Fourier Series 去模仿；但若果是 unbounded, 並唔一定可以。亦是從19世紀開始，由Analysis 取代intuition, 數學講求絕對嚴緊，特別是 Weierstrass，找出一堆counterexamples 去修正當時的theorems。 我們現在中學所讀的數學，亦停留在18-19世紀，所以所學的數學東西在Year 1/2 數學系就會全面推倒重來，這個就是歷史因素。

Cantor 建立起 set theory, 其中所有`NN` 去到 `RR` 都要用邏輯一步步建立，有興趣的可以參考 Foundations of Analysis by Landau 或者類似的書... 但從Analysis 來建立的系統，我們一般叫做standard method，亦叫做正統純數，就一直避免`oo`，變相令到無真正掂到`oo``，只是limit，或者有個永遠找到一個更大的。 當然若果用到limit, 根本只係finite 運算，所以所謂 $\varepsilon -- \delta$ 係玩邏輯。所以, 即使任何一個set, 例如 `RR` 係無`oo`, 但`RR`就有無限個元素 elements; 而這種set 就是 infinite set, 唔係指個set 有`oo`這個member。

很明顯, `RR` 無 `oo`. 為了方便運算，加入了兩個elements, `oo` and `-oo`, `hat RR = [-oo, oo]`, 但這兩個一般上只係二等公民，大部份功能都不等同其他finite real. 所以，這種extended real `hat RR` 正式名種為 two-point compactification of `RR`。 由 standard method 出來，同時取消了 極細數 以及 極大數, 改玩limit, 可以解決了很多問題，亦令整個19-20初世紀數學有了一個新的方向及發展。

Sorry, 膠登突然上唔到, 導致篇文斷了幾次....

因為Numbers 係 set 的關係，當然可以出現 一些一般人未必會理會的set (但又事實可能用緊 ), 例如 : `NN ^( NN )` 或者 `[0, 1]^( NN )` 或者 `RR^( NN )`, 這些都是infinite dimensional 而且又是 (continuous ) stochastic processes 的必要用品, 變相一定會掂到 `oo`.

大家當然會話加埋`oo`以及`-oo`就能解決嗎？ 不要忘記第2次數學危機，正正就是出現在於 `oo` 背後延申的問題。一個平滑而且可以無限微分的bounded function, 當然可以用Fourier Series 去模仿；但若果是 unbounded, 並唔一定可以。亦是從19世紀開始，由Analysis 取代intuition, 數學講求絕對嚴緊，特別是 Weierstrass，找出一堆counterexamples 去修正當時的theorems。 我們現在中學所讀的數學，亦停留在18-19世紀，所以所學的數學東西在Year 1/2 數學系就會全面推倒重來，這個就是歷史因素。

Cantor 建立起 set theory, 其中所有`NN` 去到 `RR` 都要用邏輯一步步建立，有興趣的可以參考 Foundations of Analysis by Landau 或者類似的書... 但從Analysis 來建立的系統，我們一般叫做standard method，亦叫做正統純數，就一直避免`oo`，變相令到無真正掂到`oo``，只是limit，或者有個永遠找到一個更大的。 當然若果用到limit, 根本只係finite 運算，所以所謂 $\varepsilon -- \delta$ 係玩邏輯。所以, 即使任何一個set, 例如 `RR` 係無`oo`, 但`RR`就有無限個元素 elements; 而這種set 就是 infinite set, 唔係指個set 有`oo`這個member。

很明顯, `RR` 無 `oo`. 為了方便運算，加入了兩個elements, `oo` and `-oo`, ${\color{red} {\bar {\mathbb R} }$`= [-oo, oo]`, 但這兩個一般上只係二等公民，大部份功能都不等同其他finite real. 所以，這種extended real ${\color{red} {\bar {\mathbb R} }$ 正式名種為 two-point compactification of `RR`。 由 standard method 出來，同時取消了 極細數 以及 極大數, 改玩limit, 可以解決了很多問題，亦令整個19-20初世紀數學有了一個新的方向及發展。

因為Numbers 係 set 的關係，當然可以出現 一些一般人未必會理會的set (但又事實可能用緊 ), 例如 : `NN ^( NN )` 或者 `[0, 1]^( NN )` 或者 `RR^( NN )`, 這些都是infinite dimensional 而且又是 (continuous ) stochastic processes 的必要用品, 變相一定會掂到 `oo`.

大家當然會話加埋`oo`以及`-oo`就能解決嗎？ 不要忘記第2次數學危機，正正就是出現在於 `oo` 背後延申的問題。一個平滑而且可以無限微分的bounded function, 當然可以用Fourier Series 去模仿；但若果是 unbounded, 並唔一定可以。亦是從19世紀開始，由Analysis 取代intuition, 數學講求絕對嚴緊，特別是 Weierstrass，找出一堆counterexamples 去修正當時的theorems。 我們現在中學所讀的數學，亦停留在18-19世紀，所以所學的數學東西在Year 1/2 數學系就會全面推倒重來，這個就是歷史因素。

Cantor 建立起 set theory, 其中所有`NN` 去到 `RR` 都要用邏輯一步步建立，有興趣的可以參考 Foundations of Analysis by Landau 或者類似的書... 但從Analysis 來建立的系統，我們一般叫做standard method，亦叫做正統純數，就一直避免`oo`，變相令到無真正掂到`oo``，只是limit，或者有個永遠找到一個更大的。 當然若果用到limit, 根本只係finite 運算，所以所謂 $\varepsilon -- \delta$ 係玩邏輯。所以, 即使任何一個set, 例如 `RR` 係無`oo`, 但`RR`就有無限個元素 elements; 而這種set 就是 infinite set, 唔係指個set 有`oo`這個member。

很明顯, `RR` 無 `oo`. 為了方便運算，加入了兩個elements, `oo` and `-oo`, ${\color{red} \bar {\mathbb R} }$`= [-oo, oo]`, 但這兩個一般上只係二等公民，大部份功能都不等同其他finite real. 所以，這種extended real ${\color{red} \bar {\mathbb R} }$ 正式名種為 two-point compactification of `RR`。 由 standard method 出來，同時取消了 極細數 以及 極大數, 改玩limit, 可以解決了很多問題，亦令整個19-20初世紀數學有了一個新的方向及發展。